Ein etwas komplizierteres Pendel

Pendel

Beim Versuch, Systeme mit mehreren gekoppelten Massenpunkten zu beschreiben, stößt man mit den Newtonschen Gesetzen schnell auf große Schwierigkeiten. Es wird sehr schwierig, alle auftretenden Kräfte zu bestimmen, um daraus die Beschleunigungen aller Massen zu bestimmen.
In diesem Artikel wollen wir am Beispiel des Rollpendels die Schlagkraft der Lagrangeschen Mechanik demonstrieren. Die Aufstellung der Bewegungsgleichungen wird zur einfachen Rechenübung, wie wir Schritt für Schritt sehen werden.

Das Fadenpendel

Im Physik-Unterricht an der Schule haben viele von uns sicher auch das Fadenpendel untersucht, oft auch mathematisches Pendel genannt: An einem Punkt auf der x-Achse wird an einem gewichtslosen Faden der Länge l ein Gewicht der Masse m gehängt, das frei in der x\text{-}y-Ebene under dem Einfluss der Schwerebeschleunigung g pendelt:


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Wir wollen das hier nicht weiter untersuchen, doch wir erinnern an die Lösung: Mit Hilfe des 2. Newtonschen Gesetzes \vec{F} = m \vec{a} kommt man auf die Bewegungsgleichung

(1)   \begin{equation*}\ddot{\varphi} = - \frac{g}{l} \sin \varphi\end{equation*}

Dabei ist \varphi der Winkel, den der Faden mit der y-Achse bildet.

Die Einfachheit der Rechnung verleitet schnell zu der Annahme, dass man nun die gesamte Mechanik im Griff hat. Doch sollte man folgendes bedenken:

  • Die Differentialgleichung lässt sich nicht direkt lösen, d.h. wir finden keine Funktion \varphi, deren zweite Ableitung eine Konstante mal sin \varphi ist. Hier helfen nur numerische Verfahren, oder man betrachtet nur sehr kleine Winkel \varphi, für die man sin \varphi durch \varphi annähern kann.
  • Wir haben es hier nur mit einer einzelnen Masse zu tun, und es ist relativ leicht, die Kraftkomponente, die in Richtung des Pendelausschlags wirkt, zu bestimmen.

Versuchen wir es doch einmal mit etwas Schwierigerem…

Ein Pendel mit zwei Massepunkten

Machen wir es nun etwas komplizierter: Wir fügen eine weitere Masse hinzu, und zwar als Aufhängung für das Pendel. Diese neue Masse kann sich längs der x-Achse frei bewegen. Natürlich wieder reibungsfrei, und dies ist wieder einmal eine Idealisierung der realen Verhältnisse. Wir setzen nämlich folgendes voraus:

  • Die beiden Massen sind punktförmig, d.h. die beiden Körper sind in zwei Massepunkten zusammengedrängt.
  • Die Verbindung zwischen den Massepunkten ist völlig starr (also gar kein Faden), d.h. sie verbiegt sich nicht und hat immer die Länge l. Dabei ist sie selbst völlig gewichtslos!
  • Jede Bewegung geschieht völlig reibungsfrei.

Das ist alles natürlich fern jeder Realität, ansonsten wird eine Berechnung aber sehr kompliziert. Die Physik lebt von den Näherungen; wirklich exakt ist sie nur in einer idealen, mathematischen Welt!

Wie sieht das System aus?

Der erste Schritt ist wieder einmal die Erstellung einer Skizze, um sich über alle Parameter und Variablen einen Überblick zu verschaffen.

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Hier ist schon deutlich zu erkennen, dass das System zwei Freiheitsgrade besitzt:

  1. Die horizontale Auslenkung des gesamten Systems x.
  2. Der Winkel \varphi der Auslenkung der Masse m_2 gegenüber der Vertikalen.

Wir suchen also zwei Bewegungsgleichungen für x und \varphi zweiter Ordnung, die allerdings voneinander abhängen, d.h. in den Gleichungen für x werden Terme mit \varphi samt Ableitungen auftauchen, und umgekehrt. Die Differentialgleichungen sind also genau wie die beiden Massen gekoppelt. Aber soweit sind wir noch nicht. Im Augenblick machen uns die Zwangskräfte zu schaffen.

Die Lagrange-Gleichungen des Rollpendels

Das Problem der Zwangskräfte

Beim Rollpendel stellt sich sofort die Frage, welche Koordinaten man überhaupt wählen soll Für die Masse m_1 wären kartesische Koordinaten natürlich, da sich nur die x-Koordinate ändert, und man einfach y=0 setzen kann. Für die Masse m_2 wären aber Polarkoordinaten besser geeignet. Allerdings wird auch m_2 horizontal verschoben, wenn sich m_1 bewegt. Und egal welche Koordinaten man wählt, hat man es mit dem Problem zu tun, die Kraft zu bestimmen, die die beiden Massen durch die verbindende Stange aufeinander ausüben, denn um mit Newtons Gesetzen arbeiten zu können, müssen sämtliche Kräfte im System bekannt sein! Beim mathematischen Pendel war es noch einfach; hier hat man lediglich die Komponente der Schwerkraft bestimmen müssen, die tangential zum Pendel war.

Die Kräfte, die die Bewegungen der Massen m_1 und m_2 einschränken, werden die Zwangskräfte des Systems genannt. Eigentlich wird ein System dadurch erst interessant, denn sonst würden die Massepunkte ja nur frei durch die Gegend fliegen. Sie bereiten uns aber jetzt große Schwierigkeiten. Zum Glück gibt es eine Alternative zum newtonschen Formalismus!

Der Lagrange-Formalismus kommt ohne Kräfte aus

Bereits vor über 200 Jahren hat der Mathematiker Joseph-Louis Lagrange eine Methode entwickelt, durch die man die Bewegungsgleichungen aufstellen kann, ohne die Zwangskräfte ausrechnen zu müssen. Dieser Lagrange-Formalismus beschreibt ein Verfahren, das uns Schritt für Schritt zu den Gleichungen führt, ohne dass wir groß nachdenken müssen. Es sieht wie folgt aus:

  1. Beschreibe das System in geeigneten Koordinaten.
  2. Berechne mit Hilfe der gefundenen Koordinaten die kinetische Energie T und die potentielle Energie V des Systems zur Zeit t.
  3. Stelle die Lagrange-Funktion \Lagr = T - V auf.
  4. Bestimme durch Differenzieren die Lagrange-Gleichungen.

Die Lagrange-Gleichungen sind nun die gesuchten Bewegungsgleichungen.

Schritt 1: Bestimmung der generalisierten Koordinaten

Dies ist der wichtigste Schritt, an dem man sehr genau hinsehen und nachdenken muss. Wir gehen von den kartesischen Koordinaten für die Massepunkte 1 und 2 aus, und zwar

    \[\vec{r}_1(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ y_1(t) \end{pmatrix} ,\vec{r}_2(t) = \begin{pmatrix} x_2(t) \\ y_2(t) \end{pmatrix}.\]

Damit hätten wir vier unabhängige Funktionen x_1, y_1, x_2, y_2, für die beiden Massenpunkte. Aber wir haben folgende Zwangsbedingungen (ZB1 und ZB2):

  1. Der Massenpunkt 1 kann sich nur horizontal bewegen.
  2. Der Abstand der beiden Massenpunkte ist konstant: |\vec{r_1}(t) - \vec{r_2}(t)| = l.

Die beiden Bedingungen sind voneinander unabhängig und von einer Form, die es möglich macht, jeweils eine der vier Koordinatenfunktionen zu eliminieren! Bei geeigneter (d.h. geschickter) Koordinatenwahl werden nicht nur die Zwangsbedingungen automatisch erfüllt, es gibt dann letztendlich weniger zu bestimmende Unbekannte im System!

ZB1 erfüllen wir einfach dadurch, dass wir den Massenpunkt 1 auf der x-Achse laufen lassen (bzw. wir verschieben die x-Achse dorthin). Es ist dann y(t) = 0 für alle Zeiten t, d.h.

(2)   \begin{equation*}\vec{r}_1(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ 0 \end{pmatrix}.\end{equation*}

ZB2 wird durch folgende Koordinatenwahl erfüllt: Zu gegebener Position des Massenpunkts 1 schreiben wir die Position des Massenpunkts 2 in Polarkoordinaten relativ zum Punkt 1:

(3)   \begin{equation*} \vec{r}_2(t) = \vec{r}_1(t) + \begin{pmatrix} l \sin \varphi(t) \\ - l \cos \varphi(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x(t) + l \sin \varphi(t) \\ - l \cos \varphi(t) \end{pmatrix}. \end{equation*}

Es bleiben also nur noch zwei Funktionen x und \varphi übrig, durch die das gesamte System bestimmt ist. Denn wir können die Positionen \vec{r}_1 und \vec{r}_2 durch die beiden Gleichungen in kartesischen Koordinaten berechnen. Man beachte, dass durch x und \varphi kein Polarkoordinatensystem definiert ist! x und \varphi sind abstrakte Koordinaten, durch die das gesamte System beschrieben wird. Man spricht daher von verallgemeinerten oder generalisierten Koordinaten, die beliebig unanschaulich werden können.

Mit dem lagrangeschen Formalismus verlassen wir den Bereich der anschaulichen Vorgehensweise und betreten das Gebiet der abstrakten, dafür aber ungemein schlagkräftigen mathematischen Methode! Denn mit der Aufstellung der generalisierten Koordinaten ist die wichtigste und schwierigste Aufgabe bereits erledigt; der Rest besteht nur noch in Rechenarbeit, die im Grunde automatisiert und von Computern übernommen werden kann.

Schritt 2: Berechnung der kinetischen und potentiellen Energie

Wie gesagt kennt der lagrangesche Formalismus keine Kräfte mehr (sie sind in der potentiellen Energie “versteckt”). Lagrange erkannte, dass in der Natur alle Vorgänge so ablaufen, dass das Integral

    \[ \int_{\gamma} T - V dt\]

längs der durchlaufenen Bahn \gamma des betrachteten Systems einen minimalen Wert annimmt gegenüber allen benachbarten Bahnen. Dabei steht T für die kinetische Energie und V für die potentielle Energie, jeweils zur Zeit t.

Die Funktion

(4)   \begin{equation*}\Lagr = T - V\end{equation*}

heißt die Lagrange-Funktion des Systems, und sie hängt ab von allen Positionen und Geschwindigkeiten der Massepunkte im System. Dabei werden zur Berechnung die in Schritt 1 aufgestellten generalisierten Koordinaten verwendet. Legen wir also los!

Die kinetische Energie

Die kinetische Energie einer Masse m ist definiert als \frac{m}{2} \dot{\vec{x}}^2, wobei \dot{\vec{x}}^2 das Betragsquadrat des Geschwindigkeitsvektors ist, also der Zeitableitung des Ortsvektors. Mit dem Ortsvektor aus Gleichung 2 ergibt sich für den Massepunkt 1 als Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt t

    \[\vec{r}_1(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ 0\end{pmatrix} \Rightarrow \dot{\vec{r}}_1(t) = \begin{pmatrix} \dot{x}(t) \\ 0\end{pmatrix}\Rightarrow \dot{\vec{r}}_1(t)^2 = \dot{x}(t)^2,\]


also als kinetische Energie

    \[T_1 = \frac{m_1}{2} \dot{x}(t)^2.\]

Entsprechend erhalten wir aus Gleichung 3 ( Kettenregel für \varphi(t) nicht vergessen!)

    \[\vec{r}_2(t) = \vec{r}_1(t) + \begin{pmatrix} l \sin \varphi(t) \\ -l \cos(\varphi(t)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x(t) + l \sin \varphi(t) \\ -l \cos(\varphi(t)) \end{pmatrix} \Rightarrow \dot{\vec{r_2}}(t) = \begin{pmatrix} \dot{x}(t) + l \dot{\varphi}(t) \cos \varphi(t) \\ -l \dot{\varphi}(t) \sin \varphi(t) \end{pmatrix},\]


also

    \[\begin{split}\dot{\vec{r_2}}(t)^2 &= \dot{x}(t)^2 + 2 l \dot{x}(t) \dot{\varphi}(t) \cos \varphi(t) + \l^2 \dot{\varphi}(t)^2 \cos^2 \varphi(t) + l^2 \dot{\varphi}(t)^2 \sin^2 \varphi(t) \\&= \dot{x}^2(t) + 2 l \dot{x}(t) \dot{\varphi}(t) \cos \varphi(t) + \l^2 \dot{\varphi}^2(t).\end{split}\]


und damit als kinetische Energie

    \[T_2 = \frac{m_2}{2} \left( \dot{x}^2(t) + 2 l \dot{x}(t) \dot{\varphi}(t) \cos \varphi(t) + \l^2 \dot{\varphi}^2(t) \right).\]

Die potentielle Energie

Da bei unserer Wahl der x-Achse die y-Koordinate des Massepunktes 1 konstant 0 beträgt, gilt auch für die potentielle Energie

    \[ V_1 = m_1 g y(t) = 0\]

für alle Zeiten t.

Ist das eigentlich richtig so? Der Massenpunkt m_1 besitzt doch sicher eine potentielle Energie im Schwerefeld. Können wir sie einfach durch Definition der x-Achse auf 0 setzen? Ja, das können wir! Damit legen wir nur das “Null”-Niveau der potentiellen Energie fest. Und beim Lagrange-Formalismus kommt es nicht auf den eigentlichen Wert der Lagrange-Funktion an, sondern dass das (Wirkungs-)Integral über \Lagr einen minimalen (eigentlich: stationären) Wert annimmt. Eine “Eichung” ändert nichts daran. Dazu aber weiter unten mehr…

Die potentielle Energie des Massenpunkts 2 beträgt

    \[ V_2 = -g m_2 l \cos \varphi(t), \]

wobei g=9,81 \frac{m}{s^2} die Erdbeschleunigung ist. Der Wert ist negativ, wenn sich die Masse m_2 unterhalb der x-Achse befindet, und positiv, wenn sie darüber schwingt. (Das hat aber nichts mit der z.Z. so heiß diskutierten “Negativen Energie” zu tun, sondern ist lediglich eine Folge unsere Wahl des “Energie-Nullpunkts”.)

Schritt 3: Aufstellen der Lagrange-Funktion

Wir erhalten damit als Lagrange-Funktion des Rollpendels

(5)   \begin{equation*}\boxed{\Lagr = \frac{m_1 + m_2}{2} \dot{x}^2(t) + m_2 l \dot{x}(t) \dot{\varphi}(t) \cos \varphi(t) + \frac{m_2}{2} l^2 \dot{\varphi}^2(t) + g m_2 l \cos \varphi(t)}\end{equation*}

als Differenz der kinetischen Energien T_1 + T_2 und der potentiellen Energien V_1 + V_2.

Die Natur lässt nun nur solche Entwicklungen des Systems des Rollpendel zu , die das Zeitintegral dieser Funktion minimal machen. Im nächsten Schritt bestimmen wir nun die Differentialgleichungen für solche erlaubten Entwicklungen.

Schritt 3: Berechnen der Lagrange-Gleichungen

Wir sind nun nahe am Ziel. Zur Erinnerung: Wir suchen zwei Differentialgleichungen 2. Ordnung für die Funktionen x(t) und \varphi(t). Im Schritt 2 haben wir Lagrange-Funktion \Lagr des Systems bestimmt. Die gesuchten Differentialgleichungen erhält man nun aus

(6)   \begin{equation*}\begin{split}\frac{d}{dt} \frac{\partial \Lagr}{\partial \dot{x}} &= \frac{\partial \Lagr}{\partial x}\\ \\\frac{d}{dt} \frac{\partial \Lagr}{\partial \dot{\varphi}} &= \frac{\partial \Lagr}{\partial \varphi}\end{split}\end{equation*}

Diese Gleichungen sind die sogenannten Lagrange-Gleichungen des Systems, und sie sind die gesuchten Bewegungsgleichungen!

Beginnen wir mit der linken Seite der ersten Gleichung aus 6:

    \[\begin{split}\frac{d}{dt} \frac{\partial \Lagr}{\partial \dot{x}} = &\frac{d}{dt} \frac{\partial }{\partial \dot{x}} \big( \frac{m_1 + m_2}{2} \dot{x}^2(t) + m_2 l \dot{x}(t) \dot{\varphi}(t) \cos \varphi(t) + \frac{m_2}{2} l^2 \dot{\varphi}^2(t) \\&+ g m_2 l \cos \varphi(t) \big) \\= &\frac{d}{dt} \big( (m_1 + m_2) \dot{x}(t) + m_2 l \dot{\varphi}(t) \cos \varphi(t) \big) \\= &(m_1 + m_2)\ddot{x}(t) +m_2 l (\ddot{\varphi}(t) \cos{\varphi}(t) - \dot{\varphi}^2(t) \sin \varphi(t))\end{split}\]

Für die rechte Seite gilt

    \[\frac{\partial \Lagr}{\partial x} = 0,\]

denn es taucht in \Lagr gar kein Term mit x(t) auf! Die erste Lagrange-Gleichung lautet also

(7)   \begin{equation*}(m_1 + m_2)\ddot{x}(t) +m_2 l (\ddot{\varphi}(t) \cos{\varphi}(t) - \dot{\varphi}^2(t) \sin \varphi(t))= 0\end{equation*}

Für die linke Seite der zweiten Gleichung aus 6 folgt genauso

    \[\begin{split}\frac{d}{dt} \frac{\partial \Lagr}{\partial \dot{\varphi}} = &\frac{d}{dt} \frac{\partial }{\partial \dot{\varphi}} \big( \frac{m_1 + m_2}{2} \dot{x}^2(t) + m_2 l \dot{x}(t) \dot{\varphi}(t) \cos \varphi(t) + \frac{m_2}{2} l^2 \dot{\varphi}^2(t) \\&+ g m_2 l \cos \varphi(t) \big) \\= &\frac{d}{dt} \big( m_2 l \dot{x}(t) \cos\varphi(t) + m_2 l^2 \dot{\varphi}(t)\big) \\= & m_2 l ( \ddot{x}(t) \cos \varphi(t) - \dot{x}(t) \dot{\varphi}(t) \sin \varphi(t) + l \ddot{\varphi}(t) )\end{split}\]

sowie für die rechte Seite

    \[\begin{split}\frac{\partial \Lagr}{\partial \varphi} &= -m_2 l\dot{x}(t) \dot{\varphi}(t) \sin \varphi(t) - g m_2 l \sin \varphi (t)\\&= -m_2 l (\dot{x}(t)\dot{\varphi}(t) sin \varphi(t) + g sin \varphi(t))\end{split}\]

Die zweite Gleichung lautet damit (nach Kürzen von m_2 l)

    \[\ddot{x}(t) \cos \varphi(t) - \uwave{\dot{x}(t) \dot{\varphi}(t) \sin \varphi(t)} + l \ddot{\varphi}(t) = \uwave{-\dot{x}(t) \dot{\varphi}(t) \sin \varphi(t)} - g \sin \varphi(t) ,\]

also

(8)   \begin{equation*}\ddot{x}(t) \cos \varphi(t) + l \ddot{\varphi}(t) + g \sin \varphi(t) = 0.\end{equation*}

Dies sind die beiden gesuchten Bewegungsgleichungen für x und \varphi, die die zeitliche Entwiclung des Rollpendels beschreiben!

Was man mit diesen Gleichungen machen kann…

Schreiben wir unsere gefunden Lagrange-Gleichungen noch einmal zusammen hin:

(9)   \begin{equation*}\begin{split}(m_1 + m_2)\ddot{x}(t) +m_2 l (\ddot{\varphi}(t) \cos{\varphi}(t) - \dot{\varphi}^2(t) \sin \varphi(t))&= 0\\ \\\ddot{x}(t) \cos \varphi(t) + l \ddot{\varphi}(t) + g \sin \varphi(t) &= 0\end{split}\end{equation*}

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