Natürliche und unnatürliche Einheiten

Max Planck

Vom Meter zur Planck-Länge

In der Physik geht es nicht nur um qualitative, sondern auch quantitative Beschreibungen. Tatsächlich ist man mit den Methoden der Physik in der Lage, sehr präzise Voraussagen über Messungen von Größen zu machen. Dabei gehört zu jeder zu messenden Größe auch immer eine Einheit, in der sie angegeben wird. Aber was sind eigentlich die Einheiten, mit denen die Natur selbst “arbeitet”?

Zu allen Zeiten haben Menschen Maßeinheiten verwendet, vor allem, wenn es um den Austausch von Waren ging. Dabei entstand eine unglaubliche Vielfalt an Einheiten, die ineinander umzurechnen für sich schon eine Wissenschaft darstellt. Man denke nur an das englische Längensystem: 12 Zoll sind ein Fuß, 3 Fuß ein Yard, 1760 Fuß eine Meile usw. Kaum zu glauben, dass man sich so überhaupt vom Fleck bewegen kann. Im Comic “Asterix bei den Briten” findet man diesen Dialog:

Teefix: “Man braucht sechs Füße um zu haben einen Schritt.”
Obelix: “Die spinnen, die Briten.”

Die Basiseinheiten der Mechanik

Zum Glück haben sich die Wissenschaftler auf derartige Maßsysteme nicht eingelassen und sich für ein metrisches System entschieden, dass mit wenigen Basiseinheiten auskommt, von denen alle anderen Einheiten abgeleitet werden. In der Mechanik geht es dabei um die drei Einheiten, in denen Längen, die Zeit und Massen gemessen werden sollen. Die Basiseinheiten lauten nun

  • Meter (m) zur Messung von Längen
  • Sekunde (s) zur Messung von Zeiten
  • Kilogramm (kg) zur Messung von Massen

Mit diesen Einheiten sind wir alle vertraut (zumindest auf dem Kontinent…) und können sie uns leicht vorstellen. Aber sind sie wirklich so natürlich wie naheliegend?

Naturgegebene Einheiten?

Einen Meter legt man mit einem großer Schritt zurück (sechs Füße…), und wir können ihn leicht mit zwei ausgestreckten Händen anzeigen. Einen Gegenstand in dieser Größenordnung können wir leicht unter dem Arm transportieren, wenn er nicht zu schwer ist.

Eine Sekunde, die vergeht bei langsamem Zählen. So schnell tickt eine Standuhr, und wir können gut 25 Bilder pro Sekunde mit dem Auge auflösen, so dass wir im Kino Filme genießen können.

Ein Kilogramm, das können wir leicht tragen (auf der Erde). Soviel an Nahrung essen wir wohl jeden Tag. Ein Liter Wasser hat diese Masse.

Was könnte also natürlicher als diese Maßeinheiten sein? Und wissen wir, was Länge, Zeit und Masse wirklich sind?

Was sind Länge, Zeit und Masse eigentlich?

Über Längen haben wir eine klare Vorstellung. Wir können sie abmessen und abschreiten, und zwar in beiden Richtungen, vor und zurück. Zum Abmessen verwenden wir Stäbe mit Markierungen, mit denen wir eine vorgegebene Länge vergleichen. Alles klar.

Mit der Zeit ist es schon etwas schwieriger. Sie verstreicht, und es gibt hier kein Zurück. Wollen wir Zeit mit einer Stoppuhr messen, und wir vergessen, sie zu starten, so können wir die vergangene Zeit nicht mehr messen. Letztendlich weiß (noch) niemand, warum sich die Zeit so sehr vom Raum unterscheidet. Oder richtiger gesagt, warum wir die Zeit so anders wahrnehmen als den Raum.

Dann haben wir noch die Masse. Kein Problem, sie zu messen, dazu benutzen wir eine Waage. Morgens messen wir unser Gewicht. Aber ist dies auch unsere Masse? Mit einer Waage messe ich genaugenommen eine Kraft, und zwar die Gewichtskraft eines Körpers, die Kraft, mit der mein Körper von der Erde angezogen wird und die Federn in der Waage zusammendrückt. Die Kraft ist keine Basis-, sondern eine abgeleitete Größe (und wird in Newton gemessen). Unsere Waagen rechnen aber die Gewichtskraft direkt in Kilogramm um, da die Masse proportional zu dieser Kraft ist. Auf dem Mond würden dieselben Waagen daher eine ganz andere Masse anzeigen; man müsste sie entsprechend kalibrieren.

Natürliche Einheiten

In der Physik macht man schnell Bekanntschaft mit diversen Naturkonstanten. Das sind Zahlen (mit Einheiten) in Formeln, die Messwerte miteinander in Verbindung bringen. Sehen wir uns das Gravitationsgesetz an, das von Newton entdeckt (oder formuliert?) wurde. Er stellte fest, dass die Anziehungskraft F zwischen zwei Körpern proportional zu den einzelnen (schweren) Massen m_1 und m_2 der Körper und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands r^2 ist. Man kann daher diese Werte mit einem Proportionalitätsfaktor  G multiplizieren und erhält dann eine Gleichheit:

    \[ F = G \frac{m_1\;  m_2}{r^2} \]

Diesen Faktor G muss man nun noch experimentell bestimmen. Er heißt die Gravitationskonstante, ist eine universelle Naturkonstante und hat die ungefähre Größe

    \[   G =  \SI{6,674e-11} {\meter^3 \per \kilo\gram \; \second^2}. \]

Wir bemerken zufrieden, dass auch die Einheit dieser Konstante von den Basiseinheiten abgeleitet werden kann. Aber warum braucht man überhaupt diese Proportionalitätskonstante? Kommt man evtl. ohne sie aus? Und dann noch so winzig klein:  10^{-11}? Geht es nicht noch kleiner? Doch, es geht. Hier noch eine wichtige Konstante, das (reduzierte) Plancksche Wirkungsquantum:

    \[  \hbar = \SI{1,054e-34}{\kilo\gram \meter \per \second}. \]

Und sehr groß geht es auch: Die Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum) ist etwa

    \[  c = 299.792.458 \SI{}{\meter \per \second} \]

Also, ich kann mir solche Zahlen nicht mehr vorstellen. Und es zeigt sich, dass die scheinbar so natürlichen Einheiten (und die daraus folgenden Werte der Naturkonstanten) ziemlich menschengemacht sind, also nur für unseren täglichen Bedarf. Ein Stamm intelligenter Ameisen würde sicher ein wesentlich kleineres Längenmaß wählen. Bei der Masse wären sie vielleicht etwas großzügiger, denn eine Ameise trägt leicht ein Zehnfaches ihres Körpergewichts (umgerechnet also etwa ein Auto).

Die Natur jedenfalls rechnet in anderen Einheiten. Daher wird in der Relativitätstheorie und der Quantenphysik mit anderen Maßeinheiten gearbeitet, die den dortigen Problemen besser angepasst sind. In der klassischen Physik liegen wir mit den Einheiten aber richtig, solange wir uns in einer entsprechenden Umgebung befinden.

Die natürlichen Einheiten

Ende des 19. Jahrhunderts war das Thema Mechanik ziemlich abgegrast, und man leuchtete nur noch einige dunkle Ecken aus. In einer davon entdeckte Max Planck das Gesetz, dass die Energie von Strahlung nur als Vielfaches eines gewissen Betrags vorkommen kann. Dieser Mindestbetrag folgt aus der oben bereits angegebenen Naturkonstanten  \hbar = \SI{1,054e-34}{\kilo\gram \meter \per \second}. Er bemerkte dann auch schnell, dass mit den schon bekannten Konstanten c und G (Lichtgeschwindigkeit und Gravitationskonstante) genügend natürliche Kontanten vorlagen, um daraus Einheiten für Länge, Zeit und Masse zu bilden, die

…”unabhängig von speziellen Körpern oder Substanzen ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Kulturen notwendig behalten und daher als ‚natürliche Maßeinheiten‘ bezeichnet werden können.”
Max Planck

Planck hat offenbar nicht nur an unseren intelligenten Ameisenstamm gedacht, sondern gleicht an E.T.

Die drei neuen Einheiten werden Planck-Länge, Planck-Zeit und Planck-Masse genannt. Misst man in diesen Einheiten, so haben die drei Naturkonstanten c, G und \hbar jeweils den Wert 1, so dass man sie in Rechnungen meist gleich ganz weglässt, was sehr viel Schreibarbeit erspart. Die drei Einheiten lauten nun

Planck-Längel_p = \sqrt{\frac{\hbar\;G}{c^3}}\SI{1,616e-35}{\meter}
Planck-Zeitt_p = \frac{l_p}{c}\SI{5,391e-44}{\second}
Planck-Massem_p = \sqrt{\frac{\hbar\;c}{G}}\SI{2,176e-8}{\kilo\gram}
Die Planck-Einheiten

Das sind nun wirklich recht kleine Werte, jedenfalls für unsere Wahrnehmung. Das liegt aber nur daran, dass wir aus so unglaublich vielen Atomen aufgebaut sind (so etwa 10^{25}). Im Bereich der Planck-Länge verschwindet langsam unsere Möglichkeit, Natur mit unserer Physik zu erklären. Die Planck-Zeit ist die Zeit, die Licht braucht, um diese unvorstellbar winzige Strecke zurückzulegen. Immerhin ist die Planck-Masse noch im Bereich unserer Wahrnehmung, so viel wiegt etwa ein Staubkorn.