Lösungen Band I, Anhang

Aufgabe A.1

Zeigen Sie, dass die Gl. A.17 aus Gl. 2.3 in Vorlesung 2 folgt.

Lösung:

Es war:

    \[ \alpha = \omega^2 r \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\; \;\;\;\;(A.17)\]

und


    \[\begin{split}v_x(t) &= -r \omega \sin \omega t\\v_y(t) &= \phantom{-} r \omega \cos \omega t \;\;\;\;(2.3)\end{split}\]

\alpha ist der Betrag des Beschleunigungsvektors, also

    \[\begin{split}\alpha^2 &= \left(\frac{dv_x(t)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dv_y(t)}{dt}\right)^2\\&= \left(\frac{d}{dt}(- r \omega \sin \omega t)\right)^2 + \left(\frac{d}{dt}(r \omega \cos \omega t)\right)^2\\&= (-r \omega\, \omega\cos \omega t)^2 + (-r \omega\, \omega \sin \omega t)^2\\&= r^2 \omega^4 (\cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t)\\&= r^2 \omega^4,\end{split}\]

und damit gilt \alpha = r \omega^2.

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