Lösungen Band I, Intermezzo II

Aufgabe II.1

Bestimmen Sie das unbestimmte Integral für jeden der folgenden Ausdrücke, indem Sie den Prozess der Ableitung umkehren und eine Konstante addieren:

  • f(t) = t^4
  • f(t) = \cos t
  • f(t) = t^2 -2

Lösung

    \[\begin{split}&\int t^4 \;dt = \frac{t^5}{5} + c\\&\int \cos t \;dt = \sin t + c\\&\int t^2 - 2 \;dt = \frac{t^3}{3} -2t + c\end{split}\]


Aufgabe II.2

Verwenden Sie den Fundamentalsatz der Analysis, um jedes Integral aus Aufgabe II.1 in den Grenzen von t=0 bis t=T auszuwerten.

Lösung

    \[\begin{split}&\int_0^T t^4 \;dt = \frac{t^5}{5}|_0^T = \frac{T^5}{5} - 0 = \frac{T^5}{5}\\&\int_0^T \cos t \;dt = \sin t|_0^T = \sin T - \sin 0 = \sin T\\&\int_0^T t^2 - 2 \;dt = \frac{t^3}{3} -2t|_0^T = \frac{T^3}{3} - 2T\end{split}\]


Aufgabe II.3

Betrachten Sie die Ausdrücke in Aufgabe II.1 als Beschleunigung eines Teilchens. Integrieren Sie sie einmal nach der Zeit, um die Geschwindigkeiten zu bestimmen, und ein zweites Mal, um die Bahnen zu erhalten. Da wir t für die Integrationsgrenze verwenden, benutzen wir den Parameter t' im Integral. Integrieren Sie von t'=0 bis t'=t.

  • v(t) = \int_{0}^{t} t'^4 dt'
  • v(t) = \int_{0}^{t} \cos t' dt'
  • v(t) = \int_{0}^{t} (t'^2 - 2) dt'

Lösung:

Für die Geschwindigkeiten ergeben sich:

    \[\begin{split}v(t) &= \int_{0}^{t} t'^4 \;dt' = \frac{t^5}{5}\\v(t) &= \int_{0}^{t} \cos t' \;dt' = \sin t\\v(t) &= \int_{0}^{t} (t'^2 - 2)\; dt' = \frac{t^3}{3} - 2t.\end{split}\]


Die Beschleunigungen lauten:

    \[\begin{split}a(t) &= \int_{0}^{t} \frac{t'^5}{5} \;dt' = \frac{t^6}{30}\\a(t) &= \int_{0}^{t} \sin t' \;dt' = -\cos t\\a(t) &= \int_{0}^{t} \frac{t'^3}{3} - 2t'\; dt' = \frac{t^4}{12} - t^2.\end{split}\]


Aufgabe II.4

Rechnen Sie \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x\; dx komplett aus.

Lösung

Mit Hilfe der partiellen Integration erhalten wir

    \[\begin{split}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x\; dx &= x \sin x |_0^{p/2} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\; dx\\&= \frac{\pi}{2} - (-\cos x)|_0^{\pi/2}\\&= \frac{\pi}{2} - 1.\end{split}\]