Lösungen Band I, Intermezzo I

Aufgabe I.1

Verwenden Sie einen grafikfähigen Taschenrechner oder ein Programm wie Mathematica und stellen Sie die folgenden Funktionen grafisch dar. Lesen Sie den folgenden Abschnitt, falls Sie mit trigonometrischen Funktionen nicht vertraut sind.

  • f(t)= t^4 + 3t^3-12t^2+t-6
  • g(x)= \sin x - \cos x
  • \theta(\alpha)=e^\alpha +\alpha \ln \alpha
  • x(t)=\sin^2 t - \cos t

Lösung

Die folgenden Plots wurden mit Mathematica erstellt:

f(t)
f(t)

g(x)
g(x)

theta(a)
theta(alpha)

x(t)
x(t)

Aufgabe I.2

Stellen Sie die Regel für die Vektor-Subtraktion auf.

Lösung:

Wir ersetzen bei der Vektor-Subtraktion den Vektor \vec{B} durch -\vec{B}, indem wir ihn einfach umdrehen. Dann führen wir die normale Vektor-Addition durch:

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Aufgabe I.3


Zeigen Sie, dass für die Länge eines Vektors gilt: |\vec{A}|^2 = \vec{A} \cdot \vec{A}.

Lösung:

Die Länge eines Vektors ist definiert als

    \[ |\vec{A}| = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_3^2}, \]


also

    \[ |\vec{A}|^2 = A_1^2 + A_2^2 + A_3^2 = A_1A_1+A_2A_2+A_3A_3 = \vec{A} \cdot \vec{A}. \]


Aufgabe I.4

Seien (A_x=2,A_y=-3,A_z=1) und (B_x=-4,B_y=-3,B_z=2). Berechnen Sie die Länge von \vec{A} und \vec{B}, das Skalarprodukt der Vektoren und den Winkel zwischen ihnen.

Lösung:

Die Längen der Vektoren ergeben sich aus dem Skalarprodukt der Vektoren mit sich selbst:

    \[\begin{split}|\vec{A}|^2 &= \begin{pmatrix} 2\\-3\\1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-3\\1\end{pmatrix} = 4 + 9 + 1 = 14 \Longrightarrow |\vec{A}| = \sqrt{14}\\|\vec{B}|^2 &= \begin{pmatrix} -4\\-3\\2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4\\-3\\2\end{pmatrix} = 16 + 9 + 4 = 29 \Longrightarrow |\vec{A}| = \sqrt{29}\\\vec{A} \cdot\vec{B} &= \begin{pmatrix} 2\\-3\\1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4\\-3\\2\end{pmatrix} = -8 + 9 +2 = 3\end{split}\]

Der Winkel zwischen den Vektoren ergibt sich aus

    \[ \cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot\vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} = \frac{3}{\sqrt{14}\sqrt{29}} \approx 0,14889 \Longrightarrow \theta \approx 81^o \]


Aufgabe I.5

Bestimmen Sie, welche Paare der folgenden Vektoren orthogonal sind:

  • (1,1,1)
  • (2,-1,3)
  • (3,1,0)
  • (-3,0,2)

Lösung:

Wir müssen paarweise alle Produkte bilden; insgesamt sind sechs Kombinationen möglich:

    \[\begin{split}\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} &\cdot \begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} = 2 -1 + 3 = 4\\\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} &\cdot \begin{pmatrix} 3\\1\\0 \end{pmatrix} = 3 +1 +0 = 4\\\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} &\cdot \begin{pmatrix} -3\\0\\2 \end{pmatrix} = -3 + 0 +2= -1\\\begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} &\cdot \begin{pmatrix} 3\\1\\0 \end{pmatrix} = 6 -1 + 0 = 5\\\begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} &\cdot \begin{pmatrix} -3\\0\\2 \end{pmatrix} = -6 +0 +6 = 0 \Longrightarrow \text{Vektoren sind orthogonal}\\\begin{pmatrix} 3\\1\\0 \end{pmatrix} &\cdot \begin{pmatrix} -3\\0\\2 \end{pmatrix} = -9 + 0 +0 = -9\end{split}\]


Aufgabe I.6

Können Sie erklären, warum das Skalarprodukt für orthogonale Vektoren gleich null ist?

Lösung:

Beträgt der Winkel \theta zwischen zwei Vektoren \vec{A} und \vec{B} 90^o, so gilt \cos \theta = 0 und damit

    \[\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta = 0.\]