Aufgabe 10.1:
Beweisen Sie Gl. 10.14.:
![\[ \{F(q,p),p_i\} = \frac{\partial F(q,p)}{\partial q_i}.\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-49e4b7b698d4260b6500ace74017f5b9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Lösung:
Aus der Definition der Poisson-Klammer in Gl. 9.9 folgt sofort
![\[ \{F(q,p),p_i\} =\sum_j \left( \pd{ F(q,p)}{q_j} \pd{p_i}{p_j} - \pd{F(q,p)}{p_j}\pd{p_i}{q_j} \right)= \frac{\partial F(q,p)}{\partial q_i},\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b9c53a84e7dbdd53e09b06f5d8f2439_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
da in der Summe alle Terme
verschwinden (also jeweils das rechte Produkt), und auch alle Terme 
mit 
im linken Produkt. Somit bleibt von der Summe nur der Summand mit 
übrig, und dort ist dann 
.
Aufgabe 10.2
Hamiltons Gleichungen können in der Form 
und 
geschrieben werden. Nehmen wir an, die Hamilton-Funktion hat die Form 
. Verwenden Sie nur die Axiome der PK, um Newtons Bewegungsgleichungen zu beweisen.
Lösung:
Die Axiome der Poisson-Klammer sind in den Gleichungen 10.2 bis 10.8 definiert. Wir beginnen mit 
:
![\[\dot{q} = \{q,\Ham\} = \{q,\frac{1}{2m} p^2 + V(q)\}.\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a79cdee437aad8b330da23311e08213f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Aus der Linearität der PK folgt
![\[\dot{q} = \frac{1}{2m} \{q,p^2\} + \{q,V(q)\}.\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-89a8c008bdcb9ae1ee0bab57eb027714_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Axiome besagen, dass die PK von
mit sich selbst oder irgendeiner Funktion von verschwindet, d.h. der zweite Summand ist null. Übrig bleibt also ![\[\dot{q} = \frac{1}{2m} \{q,p^2\} = \frac{1}{2m} \left( p \{q,p\} + p \{q,p\}\right)\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8317e11e0ad60f043a51a3e9aae2b6af_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
wegen Gl. 10.6, also wegen
: ![\[ \dot{q} = \frac{1}{m} p \{q,p\} = \frac{p}{m} \]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-62893413ca419393fbb710d76441d2da_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
oder
![\[ p = m\dot{q}. \]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b46ef0cd6df827ae5790db0d33bf05ff_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Das ist die Definition des mechanischen Impulses.
Die andere Hamilton-Gleichung ergibt
![\[\dot{p}=\{p,\Ham\} = \dot{p}=\{p,\frac{1}{2m} p^2 + V(q)\} = \frac{1}{2m} \{p,p^2\} + \{p,V(q)\}.\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1fc8c1d10a60893add1f52e4d92248c5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\dot{p}= \{p,V(q)\} = - \{V(q),p\} =-\frac{dV(q)}{dp}.\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b08981a81694943ebedf766375b604c7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
(Die letzte Gleichung folgt aus Gl. 10.13, die wir aus den Axiomen abgeleitet haben.) Dies ist das zweite Newtonsche Gesetz, denn links steht die Masse mal der Beschleunigung, und rechts der negative Gradient des Potentials, also die Kraft.
Aufgabe 10.3
Berechnen Sie die PK aus Gl. 10.19 sowohl mit Hilfe der Definition der PK als auch mit Hilfe der Axiome.
Hinweis: Suchen Sie in jedem Ausdruck nach Dingen in den Klammern, deren PK mit 
oder 
nicht gleich null ist. So hat etwa in der ersten PK 
eine PK ungleich null mit 
.
Lösung:
Die Gleichungen in 10.19 beschreiben die PK der Koordinaten mit der -Komponente des Drehimpulses:
![\[\begin{split}\{x,L_z\} &= \{x,(xp_y - yp_x)\} \\\{y,L_z\} &= \{y,(xp_y - yp_x)\} \\\{z,L_z\} &= \{z,(xp_y - yp_x)\}.\end{split}\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d0d150e24f65466b7e0de439a72ce00a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wir beweisen die erste Gleichung zuerst durch die Definition der Poisson-Klammer:
![\[ \begin{split} \{x,L_z\} &= \pd{x}{x}\pd{(xp_y - yp_x)}{p_x} - \pd{x}{p_x}\pd{(xp_y - yp_x)}{x} \\&+ \pd{x}{y}\pd{(xp_y - yp_x)}{p_y} - \pd{x}{p_y}\pd{(xp_y - yp_x)}{y} \\&+ \pd{x}{z}\pd{(xp_y - yp_x)}{p_z} - \pd{x}{p_z}\pd{(xp_y - yp_x)}{z} \end{split} \]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24e06e44d3513089b0c189b01f66da99_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Man sieht leicht, dass die zweite und dritte Zeile verschwinden, da die partiellen Ableitungen von nach 
und 
jeweils 0 sind.
In der ersten Zeile ist 
und 
, so dass gilt
![\[\{x,L_z\} =\pd{(xp_y - yp_x)}{p_x} = \pd{xp_y}{p_x} - \pd{yp_x}{p_x} = \pd{x}{p_x}p_y + x\pd{p_y}{p_x} - \pd{y}{p_x}p_x - y\pd{p_x}{p_x}= -y.\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6052db3c16c5b3862a83384b3084f7e8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Genauso einfach folgt aus den Rechenregeln der Differentiation für die beiden anderen Gleichungen:
![\[\{y,L_z\} = \pd{y}{y}\pd{(xp_y - yp_x)}{p_y} - \pd{y}{p_y}\pd{(xp_y - yp_x)}{y} = \pd{xp_y}{p_y} - \pd{yp_x}{y} = x, \]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f406201ef9e02087e906177008b2c35_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\{z,L_z\} = \pd{z}{z}\pd{(xp_y - yp_x)}{p_z} - \pd{z}{p_z}\pd{(xp_y - yp_x)}{z} = -\pd{xp_y+yp_x}{p_z} = 0. \]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-adfcb85242ccbc181695937faea55489_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Das ist alles elementares Rechnen mit Ableitungen. Aber selbst das ist nicht notwendig. Die Poisson-Klammern wären wenig hilfreich, wenn man zum Rechnen dann doch wieder differenzieren muss. Die algebraischen Rechenregeln aus den Axiomen 10.1 bis 10.8 machen dies überflüssig! Versuchen wir es mit der ersten Gleichung:
![\[\begin{split}\{x,L_z\} &= \{x,(xp_y - yp_x)\} \\&= \{x,xp_y\} - \{x,yp_x\}\\&= \{x,x\}p_y + \{x,p_y\}x - (\{x,y\}p_x + \{x,p_x\}y). \end{split}\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9bb8ec861a3ce2b5086f039adc14bc65_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die einzige nichtverschwindende Poisson-Klammer in der letzten Gleichung steht im vierten Term:
(s. Gleichungen 10.7 und 10.8); alle anderen Poisson-Klammern ergeben 0. Es folgt also wieder
![\[ \{x,L_z\} = - \{x,p_x\}y = -y. \]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dab50e25e9afaccc64c341562faa9b7e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Genauso folgt
![\[\begin{split}\{y,L_z\} &= \{y,(xp_y - yp_x)\} \\&= \{y,xp_y\} - \{y,yp_x\}\\&= \{y,x\}p_y + \{y,p_y\}x - (\{y,y\}p_x + \{y,p_x\}y) \\&= \{y,p_y\}x\\&= x,\end{split}\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66c04cda66d0dd98bcff1f0df8894759_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
und
![\[\begin{split}\{z,L_z\} &= \{z,(xp_y - yp_x)\} \\&= \{z,xp_y\} - \{z,yp_x\}\\&= \{z,x\}p_y + \{z,p_y\}x - (\{z,y\}p_x + \{z,p_x\}y) \\&= 0.\end{split}\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-713f8c5868ed18d186ded6f74ec9ca9f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Hallo Herr Sippel,
zur Lösung von Aufgabe 10.3. folgende Anmerkung: So wie ich die Definition der PK verstehe – die Summe über i ist zu bilden – wäre bei der PK von x, Lz nicht nur kreuzweise nach x und px partiell zu differenzieren, sondern auch nach y und py sowie z und pz, und anschließend wären die drei Ergebnisse zu addieren. Das ändert hier am Ergebnis nichts, weil die kreuzweise Differentiation von x, LX, nach y, py und auch z, pz null ergibt. Aber grundsätzlich ist das schon wichtig – es gibt sicherlich Problemstellungen, wo die Aufsummierung der kreuzweisen Differentiationen nach allen xi und den zugehörigen pi andere Ergebnisse bringt als nur die Differentiation nach x1, p1. Meines Erachtens sind also bei 3D-Aufgabenstellungen immer alle 3 Koordinaten und alle 3 zugehörigen konjugierten Impulse zu berücksichtigen, d.h. das gibt drei Rechengänge mit anschließender Addition.
Wenn das so richtig ist, gilt das natürlich auch für die PK y, Lz und die PK z, Lz, ohne dass sich die oben vorgerechneten Ergebnisse hierdurch ändern.
Sehe ich das so richtig?
Viele Grüße, Frank Gilewitz
Hallo,
das ist natürlich richtig, da habe ich es mir etwas leicht gemacht und dies nicht extra in der Lösung erwähnt. Auch wenn es klar ist, sollte das begründet sein. Ich werde das noch ergänzen.