Lösungen Band I, Vorlesung 2

Aufgabe 2.1

Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:

  • f(t) = t^4 + 3 t^3 - 12 t^2 +t - 6
  • g(x) = \sin x - \cos x
  • \theta(\alpha) = e^\alpha + \alpha \ln \alpha
  • x(t) = \sin^2t - \cos t

Lösung:

    \[\begin{split}f'(t) &= 4 t^3 + 9 t^2 - 24t\\g'(x) &= \cos x + \sin x\\\theta'(\alpha) &= e^\alpha + \ln \alpha + \alpha \frac{1}{\alpha}\\x'(t) &= 4t \sin(t^2) \cos(t^2) + 2t\sin(t^2)\end{split}\]


Aufgabe 2.2

Die Ableitung einer Ableitung wird die zweite Ableitung genannt, geschrieben
\frac{d^2 f(t)}{dt^2}. Berechnen Sie die zweite Ableitung jeder oben aufgeführten Funktion.

Lösung:

    \[\begin{split}f''(t) &= 12 t^2 + 18 t - 24\\g''(x) &= -\sin x + \cos x\\\theta''(\alpha) &= e^\alpha + \frac{1}{\alpha}\\x''(t) &= 2 (\cos t \cos t + \sin t (-\sin t)) + \cos t \\&= 2(\cos^2 t - \sin^2 t) + \cos t\end{split}\]


Aufgabe 2.3

Verwenden Sie die Kettenregel, um die Ableitungen der folgenden Funktionen zu finden:

  • g(t) = \sin(t^2) - \cos(t^2)
  • \theta(\alpha) = e^{3 \alpha} + 3 \alpha \ln (3 \alpha)
  • x(t) = \sin^2(t^2) - \cos (t^2)

Lösung:

    \[\begin{split}g'(t) &= 2t \cos (t^2) + 2t \sin (t^2) \\\theta'(\alpha) &= 3 e^{3\alpha} + 3 \ln (3 \alpha) + 3 \alpha \frac{3}{3 \alpha} = 3 [e^{3 \alpha} +\ln (3 \alpha) + 1] \\x'(t) &= 2 \sin^2(t^2) \cos (t^2) (2 t) + 2t\sin (t^2) = 2t \sin (t^2)[\sin (t^2) \cos(t^2) +1]\end{split}\]


Aufgabe 2.4

Beweisen Sie die Summenregel (ziemlich einfach), die Produktregel (einfach, wenn man den Trick kennt) und die Kettenregel (ziemlich einfach).

Lösung:

Wir schauen zurück auf die Definition der Ableitung in Gl (2.1). Dort ist die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x beschrieben als Grenzwert

    \[ f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x)}{\Delta x}. \]

Damit beweisen wir:

Die Summenregel:

    \[\begin{split}(f+g)(x+\Delta x) &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(f+g)(x + \Delta x) - (f+g)(x)}{\Delta x} \\&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left(\frac{ f(x + \Delta x - f(x))}{\Delta x} + \frac{ g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right)\\&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ g(x + \Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\&= f'(x) + g'(x).\end{split}\]

Dürfen wir im vorletzten Schritte einfach aus einem Grenzwert zwei Grenzwerte machen? Ja, das ist erlaubt, solange die beiden einzelnen Grenzwerte nicht unendlich sind, sonst gibt es Schwierigkeiten. Aber solche Fälle wollen wir hier nicht behandeln.

Die Produktregel:

    \[\begin{split}(fg)(x+\Delta x) &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(fg)(x + \Delta x) - (fg)(x)}{\Delta x} \\&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left(\frac{ f(x + \Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x)}{\Delta x} \right).\end{split}\]


Hier kommen wir jetzt erst einmal nicht mehr weiter, denn wir können nicht wie bei der Summenregel einfach Summanden vertauschen, denn die Produkte lassen sich nicht auseinanderreißen. In der Aufgabenstellung ist von einem Trick die Rede…

Wir wissen ja schon, wo wir hin wollen, denn die Produktregel lautet (fg)' = f'g + fg'. Uns fehlt also zumindest ein Summand der Form f(x+\Delta x) g(x). Wir fügen diesen Summanden ein und ziehen ihn direkt wieder ab, was 0 ergibt (in der folgenden Gleichung blau markiert). Dadurch erhalten wir die Möglichkeit, etwas umzugruppieren:

    \[\begin{split}(fg)(x+\Delta x) &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(fg)(x + \Delta x) - (fg)(x)}{\Delta x} \\&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left(\frac{ f(x + \Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x)}{\Delta x} \right)\\&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \bigg(\frac{ f(x + \Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x)}{\Delta x}\\& \phantom{\lim_{\Delta x \rightarrow 0}}+ \color{blue}{\frac{f(x+\Delta x) g(x) - f(x+\Delta x) g(x)}{\Delta x}}\bigg)\\&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left(\frac{ f(x + \Delta x)[g(x+\Delta x)-g(x)] + [f(x+\Delta x) - f(x)]g(x) }{\Delta x} \right)\\&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left( f(x + \Delta x)\frac{[g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x} + g(x) \frac{[f(x+\Delta x) - f(x)] }{\Delta x} \right)\\&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} f(x + \Delta x) \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{[g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x}\\&+ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}g(x) \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{[f(x+\Delta x) - f(x)] }{\Delta x} \\&= f(x) g'(x) + f'(x) g(x).\end{split}\]


Aber den Trick muss man schon kennen!

Die Kettenregel

beweisen wir ganz elegant mit Hilfe unserer Notation f'(x) = \frac{df(x)}{dx}:

    \[(f(g))' = \frac{d (f(g))}{dx} = \frac{d (f(g))}{dx} \frac{d g}{dg} = \frac{d f(g)}{dg} \frac{d g}{dx} = f'(g) g'.\]



Einen Mathematiker könnten wir so nicht überzeugen; er würde auf Rechnungen mit Grenzwerten und \Delta x bestehen. Dies läuft aber ganz analog zu diesem kurzen Verfahren. Für uns bringt ein ausführlicher, mathematisch exakter Beweis keine neuen Erkenntnisse.


Aufgabe 2.5

Beweisen Sie alle Formeln in den Gleichungen 2.3.

Hinweis: Schlagen Sie die trigonometrischen Identitäten und Grenzwerteigenschaften in einem Buch nach.

Lösung:

Formelsammlungen mit Ableitungsregeln gibt es viele, dazu muss man mittlerweile kein Buch mehr kaufen. Im Internet finden sich zahlreiche Seiten mit Formelsammlungen, von denen ich hier keine ausdrücklich empfehlen möchte (sehr viel Werbung). Einfach nach dem Stichwort Ableitungen suchen!


Aufgabe 2.6

Wie lange benötigt das schwingende Teilchen für einen kompletten Durchlauf der Bewegung?

Lösung:

Die schwingende Bewegung wurde im Abschnitt 2.3 durch die Gleichung

    \[x(t) = \sin \omega t\]

definiert, wobei \omega die sogenannte Winkelgeschwindigkeit ist. Das Teilchen bescheibt einen kompletten Umlauf, wenn \omega t um den Winkel 2 \pi wächst, denn es gilt

    \[   \sin  \omega t = \sin (\omega t + 2 k \pi)  \]

für alle ganzzahligen k. Ein einzelner Umlauf dauert daher

    \[ T = \frac{2 \pi}{\omega}.\]


Aufgabe 2.7

Zeigen Sie, dass die Orts- und Geschwindigkeitsvektoren des vorherigen Abschnitts senkrecht aufeinander stehen.

Lösung:

Die Aufgabe bezieht sich auf eine Kreisbewegung in der Ebene:

    \[\begin{split}x(t) = R \cos\omega t &\longrightarrow \dot{x}(t) = -R \omega \sin\omega t\\y(t) = R \sin\omega t &\longrightarrow \dot{y}(t) = +R \omega \cos\omega t.\end{split}\]

Es ist also

    \[\vec{r}(t) \cdot \vec{v}(t) = \begin{pmatrix}R \cos\omega t\\ R \sin\omega t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-R \omega \sin\omega t\\  +R \omega \cos\omega t\end{pmatrix} = R^2 \omega (-\cos \omega t \sin \omega t + \sin \omega t \cos \omega t) = 0.\]

Der Geschwindigkeitsvektor steht also immer senkrecht auf dem Ortsvektor, d.h. auf dem Radius des Kreises, und ist damit immer tangential zur Flugbahn.


Aufgabe 2.8

Berechnen Sie die Geschwindigkeit und deren Betrag sowie die Beschleunigung für jeden der folgenden Ortsvektoren. Falls Sie über eine Grafik-Software verfügen, stellen Sie damit jeden Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor dar.

  • \vec{r} = (\cos \omega t,e^{\omega t})
  • \vec{r} = (\cos (\omega t - \phi),\sin (\omega t - \phi))
  • \vec{r} = (c \cos^3 t,\sin^3 t)
  • \vec{r} = (c(t - \sin t),c(1 - \cos t))

Lösung:

Eine weitere Ableitungs-Übung. Diese Aufgabe ist nicht besonders tiefsinnig, man muss eben nur sehr sorgfältig rechnen:

Funktion 1: \vec{r} = (\cos \omega t,e^{\omega t})

    \[\begin{split}\dot{\vec{r}} &= \begin{pmatrix} -\omega \sin \omega t\\ \omega e^{\omega t}\end{pmatrix} = \omega \begin{pmatrix} -\sin \omega t\ e^{\omega t}\end{pmatrix}\\\ddot{\vec{r}} &= \omega \begin{pmatrix} -\omega \cos \omega t\ \\omega e^{\omega t}\end{pmatrix} = \omega^2 \begin{pmatrix} -\sin \omega t\\ e^{\omega t}\end{pmatrix}\end{split}\]

Funktion 2: (\cos (\omega t - \phi),\sin (\omega t - \phi))


    \[\begin{split}\dot{\vec{r}} &= \begin{pmatrix} -\omega\sin(\omega t - \phi)\ \omega \cos(\omega t - \phi) \end{pmatrix} = \omega \begin{pmatrix} -\sin (\omega t - \phi)\\ \cos(\omega t - \phi)\end{pmatrix}\\\ddot{\vec{r}} &= \omega \begin{pmatrix} -\omega \cos (\omega t - \phi)\\ - \omega \sin(\omega t - \phi) \end{pmatrix} = \omega^2 \begin{pmatrix} -\cos (\omega t - \phi)\\ -\sin(\omega t - \phi) \end{pmatrix}\end{split}\]

Funktion 3: (c \cos^3 t,\sin^3 t)

    \[\begin{split}\dot{\vec{r}} &= \begin{pmatrix} -3c \cos^2 t \sin t\\ 3 \sin^2 t \cos t \end{pmatrix}\\\ddot{\vec{r}} &= \begin{pmatrix} -3c\big[ 2\cos t (-\sin t) \sin t + \cos^2 t \cos t \big]\\ 3 \big[ 2\sin t \cos t \cos t + \sin^2 t (-\sin t) \big] \end{pmatrix}  \\&= \begin{pmatrix} 6c \cos t \sin^2 t - 3c \cos^3 t\\ 6 \sin t \cos^2 t - 3 \sin^3 t \end{pmatrix}\end{split}\]

Funktion 4: (c(t - \sin t),c(1 - \cos t))

    \[\begin{split}\dot{\vec{r}} &= \begin{pmatrix} c( 1 - \cos t)\\ c\sin t\end{pmatrix}\\\ddot{\vec{r}} &= \begin{pmatrix}c\sin t \\ c\cos t \end{pmatrix}\end{split}\]