Lösungen Band I, Vorlesung 3

Aufgabe 3.1

Gegeben sei eine Kraft, die sich mit der Zeit nach der Regel F = 2t^2 verändert, und die Anfangsbedingung zum Zeitpunkt 0: x(0) = \pi. Bestimmen Sie mit dem Gesetz von Aristoteles x(t) für beliebige Zeiten.

Lösung:

Aristoteles glaubte, dass für eine Bewegung eine ständig wirkende Kraft notwendig ist, was wir so formulieren können:


    \[ \vec{F}(t) = m \vec{v}(t) = m \dot{\vec{x}}(t),\]


also

    \[ \dot{\vec{x}}(t) = \frac{\vec{F}(t)}{m}. \]


Bei unserem eindimensionalen Problem (wir lassen daher die Vektor-Pfeile weg) erhalten wir die Differentialgleichung erster Ordnung


    \[ \dot{x}(t)= \frac{2 t^2}{m} \]


mit der allgemeinen Lösung

    \[ x(t) = \frac{2 t^3}{3m} + c.\]


Die Integrationskonstante erhalten wir aus dem Anfangswert


    \[ x(0) = c = \pi,\]


so dass die Bahn des Teilchen mit diesem Gesetz


    \[ x(t) = \frac{2 t^3}{3m} + \pi \]


lauten würde.

Dies ist natürlich nicht korrekt, wie wir wissen. Schon die Tatsache, dass die Geschwindigkeit des Teilchen zum Zeitpunkt t=0 keine Rolle spielt, beweist dies. Wir brauchen mindestens eine Differentialgleichung zweiter Ordnung (oder eine weitere Differentialgleichung erster Ordnung, wie wir noch sehen werden), damit wir Teilchenbahnen bestimmen können.


Aufgabe 3.2

Integrieren Sie diese Gleichung.

Hinweis: Verwenden Sie bestimmte Integrale.

Lösung:

Gemeint ist die Gleichung

    \[ \dot{v}_z = \frac{F_z}{m}, \]


deren bestimmtes Integral nach z

    \[ v_z(t) = \int_0^t \frac{F_z}{m} dt' = \frac{F_z t'}{m}\big|_0^t + c = \frac{F_z t}{m} + c\]


ergibt. Die Integrationskonstante erhält man durch den Anfangswert v_0 = v_z(0) = c. Die allgemeine Lösung lautet daher

    \[ v_z(t)= \frac{F_z t}{m} + v_0. \]


Aufgabe 3.3

Zeigen Sie durch Differenzieren, dass hierdurch die Bewegungsgleichung erfüllt ist.

Lösung:

Gemeint sind die Bahngleichung

    \[z(t) = z_0 + v_z(0)t + \frac{F_z}{2m}t^2\]

und die Bewegungsgleichung

    \[ \dot{v}_z = \frac{F_z}{m} \]

aus Aufgabe 3.2. Differenzieren von z(t) ergibt


    \[v_z(t) = \dot{z}(t) = v_z(0) + \frac{F_z}{m}t\]


und damit

    \[\dot{v}_z(t)=\ddot{z}(t) = \frac{F_z}{m}.\]


Aufgabe 3.4

Zeigen Sie durch Differenzieren, dass die allgemeine Lösung von 3.6 durch zwei Konstanten A und B gegeben ist mit

    \[ x(t) = A\cos \omega t + B \sin \omega t. \]


Bestimmen Sie die Anfangswerte der Position und der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=0 mit Hilfe von A und B.

Lösung:

Gleichung 3.6 ist die Bewegungs-Gleichung des harmonischen Oszillators:

    \[ \ddot{x} = - \omega^2 x.\]

Wir können durch Differenzieren zeigen, dass die angegebene Funktion x(t) diese Differentialgleichung erfüllt:

    \[\begin{split}\dot{x}(t) &= -A \omega \sin \omega t + B \omega \cos \omega t \\\ddot{x}(t) &= -A \omega^2 \cos \omega t + B \omega^2 \sin \omega t\\ &= - \omega^2 (A\cos \omega t + B \sin \omega t)\\ &= -\omega^2 x(t).\end{split}\]


Dies ist allerdings kein Beweis, dass es außer x(t) keine weiteren Lösungen geben kann. Dies wird in der Mathematik in der Theorie der Differentialgleichungen bewiesen. Allgemein gilt nämlich, dass eine Differentialgleichung zweiter Ordnung (oder allgemein Nter Ordnung) zwei (bzw. N) unabhängige Lösungen besitzt. Es sind dann entsprechend zwei (oder N) Parameter zu bestimmen, die aus den Anfangsbedingungen folgen. Diese Parameter entsprechen den Konstanten, die beim Integrieren entstehen. Hier haben wie sie A und B genannt.

Eine andere häufig benutzte allgemeine Lösung hat die Form


    \[ x(t) = A \sin (\omega t + \phi). \]


Hier ist die physikalische Bedeutung der Parameter direkt ersichtlich: A ist die Amplitude der Schwingung und \phi die Phase (also der zeitliche Versatz der Schwingung). Die beiden Ausdrücke sind nur verschiedene Formen derselben Lösung, was man mit den Rechenregeln der Trigonometrie zeigen kann.

Wir suchen nun noch die beiden Parameter A und B. Die erhalten wir durch die Anfangswerte von Ort und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=0:

    \[\begin{split}x_0 &= x(t) = A \cos 0 + B \sin 0 = A\\v_0 &= \dot{x(}t) = -A \omega \sin 0 + B \omega \cos 0 = B \omega.\end{split}\]

Damit ist A = x_0 und B= \frac{v_0}{\omega}.

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