Lösungen Band I, Vorlesung 8

Aufgabe 8.1

Zeigen Sie ausgehend von der Lagrange-Funktion \frac{m\dot{x}^2}{2} - \frac{k}{2} x^2, dass bei einer Transformation der Variablen der Form q = (k\,m)^\frac{1}{4}x die Lagrange-Funktion die Form von Gl. 8.14 annimmt. Wie hängen k, m und \omega zusammen?

Lösung:

Aus der Definition q = (k\,m)^\frac{1}{4}x erhalten wir durch Auflösen nach x die Ersetzungen

    \[x = \frac{q}{(km)^{1/4}} \Rightarrow x^2 = \frac{q^2}{\sqrt{km}} \]


und durch Differenzieren

    \[ \dot{x} = \frac{\dot{q}}{(km)^{1/4}} \Rightarrow \dot{x}^2 = \frac{\dot{q}^2}{\sqrt{km}}. \]


Eingesetzt in \frac{m\dot{x}^2}{2} - \frac{k}{2} x^2 erhalten wir

    \[\Lag = \frac{m\dot{q}^2}{2 \sqrt{km}} - \frac{k}{2 \sqrt{km}} q^2 = \frac{\dot{q}^2}{2 \sqrt{k/m}} - \frac{\sqrt{k/m}}{2 } q^2 \]

Setzt man \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, so erhält man die Lagrange-Funktion in der Form aus Gl. 8.14:

    \[ \Lag = \frac{1}{2 \omega} \dot{q}^2 - \frac{\omega}{2} q^2.\]


Aufgabe 8.2:

Berechnen Sie ausgehend von Gl. 8.14 die Hamilton-Funktion bezogen auf die Variablen p und q.

Lösung:

Zuerst berechnen wir den kanonischen Impuls:

    \[p=\pd{\Lag}{\dot{q}} = \frac{\dot{q}}{\omega}.\]


Damit ergibt sich für die Hamilton-Funktion

    \[\Ham = p \, \dot{q} - \Lag = \frac{\dot{q}^2}{\omega} - \left(\frac{1}{2 \omega} \dot{q}^2 - \frac{\omega}{2} q^2 \right) = \frac{1}{2 \omega} \dot{q}^2 + \frac{\omega}{2} q^2.\]