Lösungen Band II, Vorlesung 5

 

Aufgabe 5.1

Beweisen Sie diese Behauptung.

Lösung:

Zu zeigen ist, dass jede hermitesche 2×2-Matrix \textbf{L} in folgender Form geschrieben werden kann:

    \[ \textbf{L} = a \sigma_x + b \sigma_y + c \sigma_z + d \textbf{I}.\]


Wir wissen, dass eine hermitesche Matrix die Form


    \[ \textbf{L} = \begin{pmatrix} r & w \\ w^* &r'\end{pmatrix}\]


hat, wobei r und r' reell sind und w komplex ist. Es muss also gelten:

    \[\begin{pmatrix} r & w \\ w^* &r'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a\\ a & 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 & -ib\\ ib & 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} c & 0\\ 0 & -c \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} d & 0\\ 0 &d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} c+d & a-ib\\ a+ib & d-c\end{pmatrix}.\]

Setzen wir

    \[a = Re(w), b = -Im(w), c = \frac{r-r'}{2}, d = \frac{r + r'}{2},\]

so haben wir unsere Darstellung gefunden.


Aufgabe 5.2

  1. Zeigen Sie, dass \Delta \textbf{A}^2 = \braket{\bar{\textbf{A}}^2} und \Delta \textbf{B}^2 = \braket{\bar{\textbf{B}}^2} gilt.
  2. Zeigen Sie, dass [\bar{\textbf{A}},\bar{\textbf{B}}] = [\textbf{A},\textbf{B}] gilt.
  3. Zeigen Sie mit diesen Relationen, dass gilt:

        \[ \Delta \textbf{A} \, \Delta \textbf{B} \ge \frac{1}{2} |\braket{\Psi|[\textbf{A},\textbf{B}]|\Psi}|.\]

Lösung:

Die Aufgabe wurde teilweise schon in Abschnitt 5.4 auf S. 92f bewiesen.

1) Wir zeigen zuerst: Sind \lambda_i die Eigenwerte von \textbf{A} mit Eigenvektoren \ket{\lambda_i}, so sind \bar{\lambda}_i = \lambda_i - \braket{\textbf{A}} die Eigenwerte von \bar{\textbf{A}} mit denselben Eigenvektoren \ket{\lambda_i}:


    \[ \bar{\textbf{A}} \ket{\lambda_i} = (\textbf{A}-\braket{\textbf{A}}) \ket{\lambda_i} = \textbf{A}\ket{\lambda_i} - \braket{\textbf{A}}\ket{\lambda_i} = \lambda_i\ket{\lambda_i} - \braket{\textbf{A}}\ket{\lambda_i} = (\lambda_i-\braket{\textbf{A}}) \ket{\lambda_i} = \bar{\lambda}_i \ket{\lambda_i}. \]

Damit ist nach Definition von \Delta \textbf{A}


    \[ (\Delta \textbf{A})^2 = \sum_i (\lambda_i - \braket{\textbf{A}})^2 P(\lambda_i) = \sum_i \bar{\lambda}_i P(\lambda_i) = \sum_i \bar{\lambda}_i P(\bar{\lambda}_i)= \braket{\bar{\textbf{A}}^2}. \]


Dabei haben wir ausgenutzt, dass P(\lambda_i) = P(\bar{\lambda}_i) gilt, da die gesamte Verteilung um \braket{\textbf{A}} verschoben wurde.

Derselbe Beweis gilt natürlich auch für \textbf{B}.

2) Es ist


    \begin{align*}[\bar{\textbf{A}},\bar{\textbf{B}}] &= \bar{\textbf{A}}\bar{\textbf{B}} - \bar{\textbf{B}}\bar{\textbf{A}} \\&= \big(\textbf{A}-\braket{\textbf{A}}\big) \big(\textbf{B}-\braket{\textbf{B}}\big) - \big(\textbf{B}-\braket{\textbf{B}}\big) \big(\textbf{A}-\braket{\textbf{A}}\big) \\&= \big( \textbf{A}\textbf{B} - \textbf{A}\braket{\textbf{B}}- \braket{\textbf{A}}\textbf{B}+ \braket{\textbf{A}}\braket{\textbf{B}} \big)- \big( \textbf{B}\textbf{A} - \textbf{B}\braket{\textbf{A}}- \braket{\textbf{B}}\textbf{A}+ \braket{\textbf{B}}\braket{\textbf{A}} \big)\\&= \textbf{A}\textbf{B} - \textbf{B}\textbf{A} \\&= [\textbf{A},\textbf{B}].\end{align*}

Dabei ist zu beachten, dass \braket{\textbf{A}} und \braket{\textbf{B}} reelle Zahlen sind und damit z.B. \textbf{A}\braket{\textbf{B}} =\braket{\textbf{B}}\textbf{A} gilt.

3) Schließlich gilt:

    \[ \Delta \textbf{A} \Delta \textbf{B} = \Delta \bar{\textbf{A}} \Delta \bar{\textbf{B}} \ge \frac{1}{2} \braket{\Psi | [\bar{\textbf{A}},\bar{\textbf{B}} ]|\Psi} = \frac{1}{2} \braket{\Psi | [\textbf{A},\textbf{B} ]|\Psi}.\]