Lösungen Band II, Vorlesung 8

Aufgabe 8.1

Zeigen Sie, dass \textbf{X} und \textbf{D} lineare Operatoren sind.

Lösung:

Der Ortsoperator \textbf{X}

Der Ortsoperator \textbf{X} ist einfach als Multiplikation mit der Koordinate x definiert: X\psi(x) = x\psi(x). Es gilt also für zwei Wellenfunktionen

    \[ \textbf{X}(\psi + \phi)(x) = x (\psi + \phi)(x) = x\psi(x) + x\phi(x) = \textbf{X}\psi(x) + \textbf{X}\phi(x), \]


und für eine komplexe Konstante z

    \[ \textbf{X}(z(\psi)(x)) = x(z\psi(x)) = z (x\psi(x)) = z(\textbf{X}\psi(x)).\]


Der Ortsoperator ist linear.

Der Differentialoperator \textbf{D}

Der Differentialoperator \textbf{D} ist als Ableitung nach der x definiert: \textbf{D} \psi(x) = \frac{d \psi(x)}{x}. Für zwei Wellenfunktionen gilt damit

    \[ \textbf{D}(\psi + \phi)(x) = \frac{d(\psi + \phi)}{dx}(x) = \frac{d\psi }{dx}(x) + \frac{d\phi}{dx}(x) = \textbf{D}\psi(x) +\textbf{D}\phi(x),\]


und für eine komplexe Konstante z

    \[ \textbf{D}(z(\psi)(x)) = \frac{dz\psi }{dx}(x) = z\frac{d\psi }{dx}(x) = z(\textbf{D}\psi(x)).\]


Der Differentialoperator ist linear.

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