Lösungen Band II, Vorlesung 9

Aufgabe 9.1

Leiten Sie Gl. 9.7 her, indem Sie Gl. 9.6 in Gl. 9.5 stecken.

Lösung:

Wir setzen die Gl. 9.6 \psi(x) = exp(\frac{ipx}{\hbar}) in Gl. 9.5 und erhalten


    \[ E \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \pdd{\psi(x)}{x} = -\frac{\hbar^2}{2m} \pdd{}{x} e^{\frac{ipx}{\hbar}} = -\frac{\hbar^2}{2m} (\frac{ip}{\hbar})^2 e^{\frac{ipx}{\hbar}}= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{-p^2}{\hbar^2} \psi(x)= \frac{p^2}{2m} \psi(x), \]

und damit gilt Gl. 9.7: E = p^2/2m.


Aufgabe 9.2

Beweisen Sie Gl. 9.10 , indem Sie jede Seite ausschreiben und die Ergebnisse vergleichen.

Lösung:

Gl. 9.10 lautet [\textbf{P}^2,\textbf{X}]= \textbf{P}[\textbf{P},\textbf{X}]+[\textbf{P},\textbf{X}]\textbf{P}.

Die linke Seite lautet ausgeschrieben


    \[[\textbf{P}^2,\textbf{X}] = \hbar^2 \pdd{}{x}x - x \hbar^2 \pdd{}{x} = \hbar^2 \big[\pdd{}{x}x - x \pdd{}{x} \big], \]


und die rechte Seite


    \begin{align*}\textbf{P}[\textbf{P},\textbf{X}]+[\textbf{P},\textbf{X}]\textbf{P} &= -i\hbar\pd{}{x}\big[-i\hbar\pd{}{x} x - x (-i\hbar\pd{}{x})\big]\\ &+ \big[ -i\hbar\pd{}{x} x - x (-i\hbar\pd{}{x}) \big] (-i\hbar\pd{}{x})\\&= \hbar^2\big[\pdd{}{x}x - \pd{}{x}x \pd{}{x}\big] + \hbar^2\big[\pd{}{x}x \pd{}{x} - x\pdd{}{x}\big] \\&= \hbar^2 \big[\pdd{}{x}x - x\pdd{}{x}\big]\end{align*}


Die beiden Seiten stimmen also überein.


Aufgabe 9.3

Zeigen Sie, dass die rechte Seite von Gl. 9.17 sich zur rechten Seite von Gl. 9.16 vereinfachen lässt.

Hinweis: Erweitern Sie zunächst den zweiten Term, indem Sie die Ableitung des Produkts bilden. Danach können Sie kürzen.

Lösung:

Die rechte Seite von Gl. 9.17 ist

    \begin{align*}V(x)(-i\hbar \frac{d}{dx}) \psi(x) - (-i\hbar \frac{d}{dx}) V(x)\psi(x) &= i \hbar \big(-V(x) \frac{d\psi(x)}{x} + \frac{dV(x)}{dx}\psi(x) + V(x) \frac{d\psi(x)}{dx} \big) \\&= i\hbar \frac{dV(x)}{dx} \psi(x),\end{align*}


was der rechten Seite von Gl. 9.16 entspricht.