Aufgabe I.1
Verwenden Sie einen grafikfähigen Taschenrechner oder ein Programm wie Mathematica und stellen Sie die folgenden Funktionen grafisch dar. Lesen Sie den folgenden Abschnitt, falls Sie mit trigonometrischen Funktionen nicht vertraut sind.
Lösung
Die folgenden Plots wurden mit Python und matplotlib erstellt:
Aufgabe I.2
Stellen Sie die Regel für die Vektor-Subtraktion auf.
Lösung:
Wir ersetzen bei der Vektor-Subtraktion den Vektor 
durch 
, indem wir ihn einfach umdrehen. Dann führen wir die normale Vektor-Addition durch:
Aufgabe I.3
Zeigen Sie, dass für die Länge eines Vektors gilt: 
.
Lösung:
Die Länge eines Vektors ist definiert als
![\[ |\vec{A}| = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_3^2}, \]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d1654fb0a15226996d3658872d48dfbb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
also
![\[ |\vec{A}|^2 = A_1^2 + A_2^2 + A_3^2 = A_1A_1+A_2A_2+A_3A_3 = \vec{A} \cdot \vec{A}. \]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c71bc37a703a93e7b30fb7374e0dbcea_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Aufgabe I.4
Seien 
und 
. Berechnen Sie die Länge von 
und , das Skalarprodukt der Vektoren und den Winkel zwischen ihnen.
Lösung:
Die Längen der Vektoren ergeben sich aus dem Skalarprodukt der Vektoren mit sich selbst:
![\[\begin{split}|\vec{A}|^2 &= \begin{pmatrix} 2\\-3\\1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-3\\1\end{pmatrix} = 4 + 9 + 1 = 14 \Longrightarrow |\vec{A}| = \sqrt{14}\\|\vec{B}|^2 &= \begin{pmatrix} -4\\-3\\2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4\\-3\\2\end{pmatrix} = 16 + 9 + 4 = 29 \Longrightarrow |\vec{A}| = \sqrt{29}\\\vec{A} \cdot\vec{B} &= \begin{pmatrix} 2\\-3\\1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4\\-3\\2\end{pmatrix} = -8 + 9 +2 = 3\end{split}\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8654b93179baaf361e70c6004dbba584_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Der Winkel zwischen den Vektoren ergibt sich aus
![\[ \cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot\vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} = \frac{3}{\sqrt{14}\sqrt{29}} \approx 0,14889 \Longrightarrow \theta \approx 81^o \]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d8aea72ff4adf59c05aa31c4063ed174_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Aufgabe I.5
Bestimmen Sie, welche Paare der folgenden Vektoren orthogonal sind:
- (1,1,1)
- (2,-1,3)
- (3,1,0)
- (-3,0,2)
Lösung:
Wir müssen paarweise alle Produkte bilden; insgesamt sind sechs Kombinationen möglich:
![\[\begin{split}\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} &\cdot \begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} = 2 -1 + 3 = 4\\\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} &\cdot \begin{pmatrix} 3\\1\\0 \end{pmatrix} = 3 +1 +0 = 4\\\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} &\cdot \begin{pmatrix} -3\\0\\2 \end{pmatrix} = -3 + 0 +2= -1\\\begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} &\cdot \begin{pmatrix} 3\\1\\0 \end{pmatrix} = 6 -1 + 0 = 5\\\begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} &\cdot \begin{pmatrix} -3\\0\\2 \end{pmatrix} = -6 +0 +6 = 0 \Longrightarrow \text{Vektoren sind orthogonal}\\\begin{pmatrix} 3\\1\\0 \end{pmatrix} &\cdot \begin{pmatrix} -3\\0\\2 \end{pmatrix} = -9 + 0 +0 = -9\end{split}\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9323773567b70dcdc64c7e466f87af3f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Aufgabe I.6
Können Sie erklären, warum das Skalarprodukt für orthogonale Vektoren gleich null ist?
Lösung:
Beträgt der Winkel 
zwischen zwei Vektoren und 
, so gilt 
und damit
![\[\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta = 0.\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3203ab1d32f40b2b2b3d35b2687f9b5f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Aufgabenstellung in der Lösung zu Aufgabe I.1 (4) entspricht nicht der Aufgabenstellung im Buchtext. Im Buchtext lautet der Funktionsterm:
sin^2(t)-cos(t), in der Lösung (die Sie dankenswerterweise zur Verfügung stellen!) lautet der Funktionsterm sin(t^2)-cos(t).
Vielen Dank für den Hinweis, also stimmte auch der Plot nicht. Das habe ich verbessert!
Der kommentierte Plot stimmt leider immer noch nicht. Leicht zu sehen an Stelle t=0, wo sin^2(t) = 0 und cos x = 1 also f(t) = -1 gilt und nicht f(t) = 0, wie im Plot gezeigt. Der korrekte Graph sieht aus wie der gezeigte, aber steht Kopf und ist im Nullpunkt auf -1 verschoben.