Aufgabe II.1
Bestimmen Sie das unbestimmte Integral für jeden der folgenden Ausdrücke, indem Sie den Prozess der Ableitung umkehren und eine Konstante addieren:
Lösung
![\[\begin{split}&\int t^4 \;dt = \frac{t^5}{5} + c\\&\int \cos t \;dt = \sin t + c\\&\int t^2 - 2 \;dt = \frac{t^3}{3} -2t + c\end{split}\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aa873af08b5747563041efec2e8ec750_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Aufgabe II.2
Verwenden Sie den Fundamentalsatz der Analysis, um jedes Integral aus Aufgabe II.1 in den Grenzen von 
bis 
auszuwerten.
Lösung
![\[\begin{split}&\int_0^T t^4 \;dt = \frac{t^5}{5}|_0^T = \frac{T^5}{5} - 0 = \frac{T^5}{5}\\&\int_0^T \cos t \;dt = \sin t|_0^T = \sin T - \sin 0 = \sin T\\&\int_0^T t^2 - 2 \;dt = \frac{t^3}{3} -2t|_0^T = \frac{T^3}{3} - 2T\end{split}\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de95d4045bcb05845f8a351c7e7c1cf6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Aufgabe II.3
Betrachten Sie die Ausdrücke in Aufgabe II.1 als Beschleunigung eines Teilchens. Integrieren Sie sie einmal nach der Zeit, um die Geschwindigkeiten zu bestimmen, und ein zweites Mal, um die Bahnen zu erhalten. Da wir 
für die Integrationsgrenze verwenden, benutzen wir den Parameter 
im Integral. Integrieren Sie von 
bis 
.
Lösung:
Für die Geschwindigkeiten ergeben sich:
![\[\begin{split}v(t) &= \int_{0}^{t} t'^4 \;dt' = \frac{t^5}{5} (+ v_0)\\v(t) &= \int_{0}^{t} \cos t' \;dt' = \sin t (+ v_0)\\v(t) &= \int_{0}^{t} (t'^2 - 2)\; dt' = \frac{t^3}{3} - 2t (+ v_0).\end{split}\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d087c2d61a1bae99af0b1d395a85fa5d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Hierbei habe ich eine mögliche Anfangsgeschwindigkeit 
in Klammern eingefügt, die als Integrationskonstante erscheint.
Die Funktionen für die Bahnen lauten:
![\[\begin{split}s(t) &= \int_{0}^{t} \frac{t'^5}{5} \;dt' = \frac{t^6}{30}\\s(t) &= \int_{0}^{t} \sin t' \;dt' = -\cos t\\s(t) &= \int_{0}^{t} \frac{t'^3}{3} - 2t'\; dt' = \frac{t^4}{12} - t^2.\end{split}\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6f7b579a622660e37bf2ce32c751d010_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Diese Rechnung gilt nur, wenn man die Anfangsgeschwindigkeit 
setzt. Diese tritt ja als Integrationskonstante bei der ersten Integration auf, genauso wie eine weitere Konstante 
bei der zweiten Integration. Ganz korrekt lauten die Lösungen daher:
![\[\begin{split}s(t) &= \frac{t^6}{30}+ v_0t + s_0\\s(t) &= -\cos t + v_0t + s_0\\s(t) &= \frac{t^4}{12} - t^2+ v_0t + s_0.\end{split}\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b97a2215da54f985a0557b852cc374f0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Vielen Dank an L.E. für den Hinweis!
Aufgabe II.4
Rechnen Sie 
komplett aus.
Lösung
Mit Hilfe der partiellen Integration erhalten wir
![\[\begin{split}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x\; dx &= x \sin x |_0^{p/2} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\; dx\\&= \frac{\pi}{2} - (-\cos x)|_0^{\pi/2}\\&= \frac{\pi}{2} - 1.\end{split}\]](https://www.das-theoretische-minimum.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9ba61d63cfa4d844cf929d35f0442eaf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
1. In den Lösungen von II.3 sind fälschlicherweise als Resultate der zweiten Integration jeweils Beschleunigungen statt Ortsfunktionen angegeben.
2. Müsste in der dritten Funktion in II.3. nicht bei s(t‘) in den Grenzen 0 bis t der Term v_0*t addiert werden? Also s(t) = t^4/12 – t^2 + v_0*t ?
Hallo,
vielen Dank für den Hinweis. Ich habe das mit den Ortsfunktionen korrigiert.
Es stimmt natürlich, bei den ganzen Rechnungen müssten noch die Integrationskonstanten addiert werden. Ich habe das oben ergänzt.
Hallo, etwas das mir auch bei der englischen Ausgabe der Lösungen nicht richtig erscheint, ist die Lösung für s(t) = -cos(t). In den Grenzen von 0 bis t ergibt das -cos(t) + cos(0), was als Ergebnis s(t) = -cos(t) + 1 zur Folge hat, da der Cosinus von 0 = 1 ist. Bei v(t) stimmt das Ergebnis, da der Sinus von 0 = 0 ist.