Aufgabe 2.1
Beweisen Sie, dass der Vektor in Gl. 2.5 orthogonal auf dem Vektor
in Gl. 2.6 steht.
Lösung:
Es ist damit


Aufgabe 2.2
Beweisen Sie, dass und
alle Bedingungen aus den Gleichungen 2.7, 2.8 und 2.9 erfüllen. Sind sie dadurch eindeutig bestimmt?
Lösung:
Das ist nun einmal wirklich reine Fleißarbeit. Es sind
Gleichungen 2.7 (Orthogonalität)
Gleichungen 2.8
Wir berechnen die Produkte mit und
:
Wenn wir nun die Antisymmetrie verwenden, so sehen wir die Gleichungen aus 2.8:
Gleichungen 2.9
Es sind und
. Mittlerweile sehen wir, wie das läuft: Die gemischten Terme fallen weg wegen
, und übrig bleiben die Terme
:
und damit (wegen der Antisymmetrie und ):
Auf die Frage nach der eindeutigen Bestimmtheit gehen wir in Aufgabe 2.3 ein.
Aufgabe 2.3
Vergessen wir einmal, dass uns die Gleichungen 2.10 funktionierende Definitionen für und
ausgedrückt in Termen von
und
geben, und nehmen wir an, die Komponenten
,
,
und
seien noch unbekannt:
a) Zeigen Sie mit Hilfe der Gleichungen 2.8, dass gilt
b) Zeigen Sie mit dem ersten Resultat und den Gleichungen 2.9, dass gilt
c) Zeigen Sie, dass und
rein imaginär sein müssen.
Ist rein imaginär, so können
und
nicht beide reell sein. Dasselbe gilt für
und
Lösung:
Im Aufgabentext haben wir den allgemeinen Ansatz für und
, ausgedrückt in der
–
-Basis. Wir wollen nun zeigen, wie weit
durch die Produkte mit den anderen Zustandsvektoren bestimmt sind.
a) Die Produkte mit und
:
Es ist nach Gl. 2.8
Genau so folgen die Gleichungen


b) Es ist
Es folgt , also gilt
also
Aus a) wissen wir , d.h es muss gelten
Mit dem Produkt


c) Aus den Gleichungen in b) folgt, dass rein imaginär ist, denn es gilt
d.h. die konjugiert komplexe Zahl von ist
.
Der Realteil von ist daher 0, und damit ist
rein imaginär. Das gleiche gilt für