Lösungen Band II, Vorlesung 2 – Das theoretische Minimum

Aufgabe 2.1

Beweisen Sie, dass der Vektor $\ket{r}$ in Gl. 2.5 orthogonal auf dem Vektor $\ket{l}$ in Gl. 2.6 steht.

Lösung:

$\begin{align*}\ket{r} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{u} + \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{d}\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2.5) \\\ket{l} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{u} - \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{d}\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2.6)\end{align*}$

Es ist damit

$\begin{align*}\braket{l|r} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \big(\bra{u} - \bra{d} \big) \frac{1}{\sqrt{2}} \big(\ket{u} + \ket{d} \big)\\&= \frac{1}{2}\big( \braket{u|u} + \braket{u|d} - \braket{d|u} - \braket{d|d} \big)\\&= \frac{1}{2} \big( 1 + 0 - 0 - 1\big)\\&= 0.\end{align*}$

$\ket{l}$ und $\ket{r}$ stehen also senkrecht aufeinander.

Aufgabe 2.2

Beweisen Sie, dass $\ket{i}$ und $\ket{o}$ alle Bedingungen aus den Gleichungen 2.7, 2.8 und 2.9 erfüllen. Sind sie dadurch eindeutig bestimmt?

Lösung:

Das ist nun einmal wirklich reine Fleißarbeit. Es sind

$\begin{align*}\ket{i} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{u} + \frac{i}{\sqrt{2}} \ket{d}\\\ket{o} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{u} - \frac{i}{\sqrt{2}} \ket{d}.\end{align*}$

Gleichungen 2.7 (Orthogonalität)

$\begin{align*}\braket{i|o} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \big(\bra{u} + \bra{d} \big) \frac{1}{\sqrt{2}} \big(\ket{u} - \ket{d} \big)\\&= \frac{1}{2} \big( \braket{u|u} - \braket{u|d} + \braket{d|u} - \braket{d|d} \big)\\&= \frac{1}{2} \big(1 - 0 + 0 - 1\big)\\&= 0.\end{align*}$

Gleichungen 2.8

Wir berechnen die Produkte mit $\ket{u}$ und $\ket{d}$ :

$\begin{align*}\braket{o|u} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\big(\bra{u} - i \bra{d} \big) \ket{u} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\braket{u|u} - i \braket{d|u}) = \frac{1}{\sqrt{2}},\\\braket{i|u} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\big(\bra{u} + i \bra{d} \big) \ket{u} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\braket{u|u} + i \braket{d|u}) = \frac{1}{\sqrt{2}},\\\braket{o|d} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\big(\bra{u} - i \bra{d} \big) \ket{d} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\braket{u|d} - i \braket{d|d}) = \frac{-i}{\sqrt{2}},\\\braket{i|d} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\big(\bra{u} + i \bra{d} \big) \ket{d} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\braket{u|d} + i \braket{d|d}) = \frac{i}{\sqrt{2}}.\end{align*}$

Wenn wir nun die Antisymmetrie verwenden, so sehen wir die Gleichungen aus 2.8:

$\begin{align*}\braket{o|u}\braket{u|o} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2},\\\braket{i|u} \braket{u|i}&= \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2},\\\braket{o|d} \braket{d|o} &= \frac{-i}{\sqrt{2}} \frac{+i}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2},\\\braket{i|d}\braket{d|i} &= \frac{i}{\sqrt{2}} \frac{-i}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.\end{align*}$

Gleichungen 2.9

Es sind $\ket{l} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{u} + \ket{d})$ und $\ket{r}= \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{u} - \ket{d}$ . Mittlerweile sehen wir, wie das läuft: Die gemischten Terme fallen weg wegen $\braket{u|d} = \braket{d|u}=0$ , und übrig bleiben die Terme $\braket{u|u} = \braket{d|d}=1$ :

$\begin{align*}\braket{o|r} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\big(\bra{u} - i \bra{d} \big) \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{u} - \ket{d} = \frac{1+i}{2},\\\braket{o|l} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\big(\bra{u} - i \bra{d} \big) \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{u} + \ket{d})= \frac{1-i}{2},\\\braket{i|r} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\big(\bra{u} + i \bra{d} \big) \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{u} - \ket{d}= \frac{1-i}{2},\\\braket{i|l} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\big(\bra{u} + i \bra{d} \big) \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{u} + \ket{d}) = \frac{1+i}{2}.\end{align*}$

und damit (wegen der Antisymmetrie und $(1+i)(1-i)= 1-i^2 = 1+1=2$ ):

$\begin{align*}\braket{o|r}\braket{r|o} &= \frac{1+i}{2} \frac{1-i}{2}= \frac{2}{4} = \frac{1}{2},\\\braket{o|l} \braket{o|d} &= \frac{1-i}{2} \frac{1+i}{2}= \frac{2}{4}=\frac{1}{2},\\\braket{i|r} \braket{r|i}&= \frac{1-i}{2} \frac{1+i}{2}= \frac{2}{4} = \frac{1}{2},\\\braket{i|l}\braket{l|i} &= \frac{1+i}{2} \frac{1-i}{2}= \frac{2}{4}=\frac{1}{2}.\end{align*}$

Auf die Frage nach der eindeutigen Bestimmtheit gehen wir in Aufgabe 2.3 ein.

Aufgabe 2.3

Vergessen wir einmal, dass uns die Gleichungen 2.10 funktionierende Definitionen für $\ket{i}$ und $\ket{o}$ ausgedrückt in Termen von $\ket{u}$ und $\ket{d}$ geben, und nehmen wir an, die Komponenten $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ und $\delta$ seien noch unbekannt:

$\begin{align*}\ket{i} &= \alpha \ket{u} + \beta \ket{d}\\\ket{o} &= \gamma \ket{u} + \delta \ket{d}.\end{align*}$

a) Zeigen Sie mit Hilfe der Gleichungen 2.8, dass gilt

$\alpha^* \alpha = \beta^* \beta = \gamma^* \gamma = \delta^* \delta = \frac{1}{2}.$

b) Zeigen Sie mit dem ersten Resultat und den Gleichungen 2.9, dass gilt

$\alpha^* \beta + \alpha \beta^* = \gamma^* \delta + \gamma \delta^* = 0.$

c) Zeigen Sie, dass $\alpha^* \beta$ und $\gamma^* \delta$ rein imaginär sein müssen.
Ist $\alpha^* \beta$ rein imaginär, so können $\alpha$ und $\beta$ nicht beide reell sein. Dasselbe gilt für $\gamma$ und $\delta.$

Lösung:

Im Aufgabentext haben wir den allgemeinen Ansatz für $\ket{i}$ und $\ket{o}$ , ausgedrückt in der $\ket{u}$ – $\ket{d}$ -Basis. Wir wollen nun zeigen, wie weit $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ durch die Produkte mit den anderen Zustandsvektoren bestimmt sind.

a) Die Produkte mit $\ket{u}$ und $\ket{d}$ :

Es ist nach Gl. 2.8

$\frac{1}{2} = \braket{i|u}\braket{u|i} = \big(\alpha^* \braket{u|u} + \beta^* \braket{d|u}\big)\big(\alpha \braket{u|u} + \beta \braket{u|d}\big) = \alpha^*\alpha.$

$\frac{1}{2} = \braket{i|d}\braket{d|i} = \big(\alpha^* \braket{u|d} + \beta^* \braket{d|d}\big)\big(\alpha \braket{d|u} + \beta \braket{d|d}\big) = \beta^*\beta.$

Genau so folgen die Gleichungen $\gamma^*\gamma = \frac{1}{2}$ und $\delta^*\delta = \frac{1}{2}$ .

b) Es ist

$\braket{i|l} = \big(\alpha^* \bra{u} + \beta^* \bra{d}\big) \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{u} + \ket{d}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha^* + \beta^*).$

Es folgt $\braket{l|i} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha + \beta)$ , also gilt

$\frac{1}{2} = \braket{i|l} \braket{l|i} = \frac{1}{2} \big( (\alpha^* + \beta^*) (\alpha + \beta) \big) = \frac{1}{2} \big( \alpha^*+\alpha + \beta^*+\beta + \alpha^*\beta + \alpha \beta^*. \big),$

also

$\alpha^*\alpha + \beta^*\beta + \alpha^*\beta + \alpha \beta^* = 1.$

Aus a) wissen wir $\alpha^*\alpha + \beta^*\beta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ , d.h es muss gelten

$\alpha^*\beta + \alpha \beta^* = 0.$

Mit dem Produkt $\braket{o|l}\braket{l|o} = \frac{1}{2}$ folgt auf dieselbe Weise $\gamma^*\delta + \gamma \delta^* = 0$ .

c) Aus den Gleichungen in b) folgt, dass $\alpha^*\beta$ rein imaginär ist, denn es gilt

$\alpha^*\beta + \alpha\beta^* = 0 \Longrightarrow \alpha^*\beta = -\alpha\beta^* = (-\alpha^*\beta)^*,$

d.h. die konjugiert komplexe Zahl von $\alpha^*\beta$ ist $-\alpha^*\beta$ .

Der Realteil von $\alpha^*\beta$ ist daher 0, und damit ist $\alpha^*\beta$ rein imaginär. Das gleiche gilt für $\gamma^*\delta.$