Lösungen Band III – Das theoretische Minimum

Aufgabe 1.1

Zeigen Sie, dass die $x$ -Koordinate des Punkts $Q$ in Abb. 1.6 gleich $\sqrt{1-v^2}$ ist.

Lösung:

Aufgabe 1.2

In Abb. 1.8 kehrt der reisende Zwilling nicht nur die Richtung um, sondern wechselt dabei auch in ein anderes Bezugssystem.

a) Verwenden Sie die Lorentz-Transformation, um zu zeigen, dass vor der Umkehr die Beziehung zwischen den Zwillingen tatsächlich symmetrisch ist. Jeder Zwilling sieht den anderen langsamer altern als sich selbst.

b) Verwenden Sie Raumzeit-Diagramme, um zu zeigen, wie der abrupte Wechsel des Reisenden von einem Bezugssystem zum anderem seine Definition der Gleichzeitigkeit verändert. Im neuen Bezugssystem des Reisenden ist sein Zwilling plötzlich viel älter, als er es im ursprünglichen System des Reisenden war.

Lösung:

Aufgabe 3.1

Beweisen Sie mit Hilfe der Definition von $(\Delta \tau)^2$ die Gl. 3.7.

Lösung:

Für Gl. 3.7 gilt nach Definition der $U^\mu$ :

$(U^0)^2 - (U^1)^2-(U^2)^2-(U^3)^2 = \frac{1 - ((V^1)^2 +(V^2)^2+(V^3)^2) }{1-\vec{v}^2} =1$

Aufgabe 5.1

Zeigen Sie, dass $A^\nu A_\nu$ dieselbe Bedeutung hat wie $A^\mu A_\mu$ .

Lösung:

$\mu$ und $\nu$ sind hier einfach nur Summenindizes; das Summenzeichen ist ja durch die Summenkonvention ausgeblendet:

$A^\nu A_\nu = \sum_{\nu=0}^{3} A^\nu A_\nu = \sum_{\mu=0}^{3} A^\mu A_\mu = A^\mu A_\mu.$

Aufgabe 5.2

Schreiben Sie einen Ausdruck, der die Wirkung von Gl. 5.20 rückgängig macht. Anders ausgedrückt: Wie geht es “zurück”?

Lösung:

Aufgabe 6.1

Gegeben sei die Transformationsgleichung (Gl. 6.3) für die kontravarianten Komponenten eines Vierervektors $A^\nu$ , wobei $\tensor{L}{^\mu_\nu}$ eine Lorentz-Transformations-Matrix ist. Zeigen Sie, dass die Lorentz-Transformation für die kovarianten Komponenten von $A$

$(A')_\mu = \tensor{M}{_\mu^\nu} A_\nu$

lautet, wobei gilt

$M = \eta L \eta.$

Lösung:

Aufgabe 6.2

Ausdruck Gl. 6.28 wurde durch Identifizieren des Index $p$ mit der $z$ -Komponente des Raums hergeleitet, und nach Summation über $n$ für die Werte (1, 2, 3). Warum enthält Ausdruck Gl. 6.28 keinen Term mit $v_z$ ?

Lösung:

Aufgabe 8.1

Betrachten Sie eine ruhende elektrische Ladung, ohne Anwesenheit weiterer elektrischer oder magnetischer Felder. Wie lautet in Ausdrücken von $(E_x, E_y, E_z)$ die $x$ -Komponente des elektrischen Feldes eines Beobachters, der sich mit Geschwindigkeit $v$ in negativer $x$ -Richtung bewegt? Wie lauten die $y$ – und $z$ -Komponenten? Was sind die dazugehörenden Komponenten des magnetischen Feldes?

Lösung:

Aufgabe 8.2

Art sitzt im Bahnhof, als der Zug vorbeifährt. Wie lautet in Termen von Lennys Feldkomponenten die $x$ -Komponente von $E$ , die von Art beobachtet wird? Wie lauten die $y$ – und $z$ -Komponenten? Was sind die dazugehörenden Komponenten des magnetischen Feldes, das Art wahrnimmt?

Lösung:

Aufgabe 8.3

Berechnen Sie in Einsteins Beispiel alle Komponenten der elektrischen und magnetischen Felder im Ruhesystem des Elektrons.

Lösung:

Aufgabe 8.4

Benutzen Sie die zweite Gruppe der Maxwell-Gleichungen aus Tab. 8.1 zusammen mit den Vektoridentitäten aus Abschnitt 8.2.1, um die Kontinuitätsgleichung herzuleiten.

Lösung:

Aufgabe 11.1

Zeigen Sie, dass $T^{0n}$ der Poynting-Vektor ist.

Lösung:

Aufgabe 11.2

Berechnen Sie $T^{11}$ und $T^{12}$ in Termen der Feldkomponenten $(E_x,E_y,E_z)$ und $(B_x,B_y,B_z)$ .

Lösung:

Aufgabe A.1

Leiten Sie Gleichung A.13 aus Gleichung 9.18 her.

Hinweis: Die Ableitung folgt derselben Logik wie die Ableitung von Gleichung 9.22 in Abschnitt 9.2.5.